סדרה הנדסית – האיבר הכלליסדרות 571 · שיעור 14
סדרות · שאלון 571
שיעור 14: סדרה הנדסית – האיבר הכללי
פרק 4 – סדרה הנדסית
1נוסח השאלה
2סעיף א – איברים ראשונים והאיבר השישי
3סעיף ב – המקום של 384
4סעיף ג – האיבר הראשון בסדרה השנייה
📄 נוסח השאלה
בסדרה הנדסית האיבר הראשון הוא 3 והמנה היא 2.
א. כתבו את ארבעת האיברים הראשונים ומצאו את האיבר השישי.
ב. באיזה מקום בסדרה נמצא המספר 384?
בסדרה הנדסית אחרת, האיבר השלישי גדול ב־2 מהאיבר השני, והאיבר הרביעי גדול פי 2 מהאיבר השלישי.
ג. מצאו את האיבר הראשון בסדרה זו.
סעיף א – איברים ראשונים והאיבר השישי
בסדרה הנדסית עוברים מאיבר לאיבר הבא על ידי כפל במנה q. כאן a1 = 3 , q = 2:
3 , 6 , 12 , 24 , ...
a6 = 3 · 26 − 1 = 3 · 25 = 3 · 32 = 96
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
✅ פתרון סופי: 3 , 6 , 12 , 24 , a6 = 96
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
סעיף ב – המקום של 384
3 · 2n − 1 = 384
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
מחלקים ב־3:
2n − 1 = 128
כותבים את 128 כחזקה של 2: 128 = 27
2n − 1 = 27
📐 השוואת חזקות
n − 1 = 7
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
📐 השוואת חזקות
ax = ay ⟹ x = y
סעיף ב – המקום של 384 · המשך
n − 1 = 7
n = 8
בדיקה: a8 = 3 · 27 = 3 · 128 = 384 ✓
✅ פתרון סופי: המקום ה־8
סעיף ג – האיבר הראשון בסדרה השנייה
"האיבר הרביעי גדול פי 2 מהשלישי" – היחס בין איבר לאיבר שלפניו הוא המנה:
q = a4a3 = 2
📐 מנת הסדרה ההנדסית
"האיבר השלישי גדול ב־2 מהשני": a3 = a2 + 2. כותבים בעזרת a1:
a1 · q2 = a1 · q + 2
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
a1 · 4 = a1 · 2 + 2
4a1 − 2a1 = 2
📐 מנת הסדרה ההנדסית
q = an + 1an
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
סעיף ג – האיבר הראשון בסדרה השנייה · המשך
4a1 − 2a1 = 2
2a1 = 2
a1 = 1
בדיקה: הסדרה 1 , 2 , 4 , 8: 4 = 2 + 2 ✓ , 8 = 2 · 4 ✓
✅ פתרון סופי: a1 = 1
📌 סיכום התשובות
סעיף א
a6 = 96
סעיף ב
המקום ה־8
סעיף ג
a1 = 1
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא